数学思维·六年级下

数学思维·六年级下，第102页。

拓展题1，齿轮、树影和未做题（正反比例判断）。判断下面每组中的两种量成正比例、反比例还是不成比例：①互相啮合的两个齿轮，一个的齿数和它转动的圈数；②同一时刻、同一地点，物体的高度和影子的长度；③作业总题数一定，已经做完的题数和还没做的题数。

思路点拨。分别写出关系式：能写出"商一定"是正比，"积一定"是反比，只能写出"和一定"就不是。

方法一，列式定性法。①齿轮：齿数 乘 圈数 等于 同一时间啮合的总齿数（一定），成反比例；；②影长：影长 除以 物高 等于 同一时刻的固定比值（一定），成正比例；；③已做＋未做 等于 总题数（和一定），不成比例。。齿轮问题先想"咬合处转过的齿数相等"，自然得到乘积式。

方法二，变化方向法。看两种量的变化方向：同增同减先怀疑正比，再验商（影长随物高同增，商一定）；；一增一减先怀疑反比，再验积（齿多的轮转得慢，积一定）；；已做题增加时未做题减少，看似一增一减，但积不固定（如 10 题时 4 和 6 积 24，5 和 5 积 25），只能成"和一定"，不成比例。。变化方向只是线索，最终要用"商一定还是积一定"定性，防止被表面增减迷惑。

答案。①齿数 乘 圈数 等于 总齿数（一定），成反比例；②影长 除以 物高 等于 一定，成正比例；③已做＋未做 等于 总数（和一定），不成比例。

举一反三变式题。"长方形周长一定，长和宽成反比例吗？"

解析。不成，长＋宽 等于 周长的一半，是和一定

拓展题2，同一张表，正比反比两种填法。x、y 是两种相关联的量。已知 x 等于 2 时 y 等于 12。当 x 依次取 2、4、8 时：（1）若 x 与 y 成正比例，y 依次是多少？（2）若成反比例，y 依次是多少？

思路点拨。正比例先求固定的商 y/x；反比例先求固定的积 xy。

方法一，定值求k法。正比例：k 等于 y/x 等于 12 除以 2 等于 6，y 等于 6x；x 等于 4 时 y 等于 24，x 等于 8 时 y 等于 48；；反比例：k 等于 xy 等于 2 乘 12 等于 24；x 等于 4 时 y 等于 24 除以 4 等于 6，x 等于 8 时 y 等于 24 除以 8 等于 3；；两张表分别为：12、24、48 和 12、6、3。。先定 k（正比定商、反比定积），再逐格计算，是填表题的通法。

方法二，倍数变化法。x 从 2 到 4 乘 2、到 8 乘 4；；正比例中 y 跟着同倍变化：12 乘 2 等于 24、12 乘 4 等于 48；；反比例中 y 反着变：12 除以 2 等于 6、12 除以 4 等于 3，与定 k 法结果一致。。正比"你乘几我乘几"，反比"你乘几我除以几"，用倍数思考可快速验算整表。

答案。成正比例时 y 依次是 12、24、48；成反比例时 y 依次是 12、6、3。