数学思维·五年级上

数学思维·五年级上，第81页。

拓展题2，摆正方形用小棒：字母表示的规律探究。像这样把正方形并排摆下去：摆 1 个正方形用 4 根小棒，摆 2 个并排的正方形用 7 根，摆 3 个用 10 根。（1）摆 n 个并排正方形需要多少根小棒（用含字母 n 的式子表示）？（2）摆 20 个需要多少根？

思路点拨。每增加一个正方形，小棒增加几根？也可以把图形拆成"上边、下边、竖边"三类分别数。

方法一，列举归纳法。列出前几项：1 个 4 根、2 个 7 根、3 个 10 根；；每多摆 1 个正方形，只需添 3 根（有一条边与前一个共用）；；摆 n 个：在第一个的 4 根之后添（n－1）次 3 根，4＋3（n－1） 等于 3n＋1；当 n 等于 20 时，3 乘 20＋1 等于 61（根）。。列举时边写边观察相邻两数的差，差是几，字母式子里 n 的系数就是几。

方法二，分类计数法。把小棒分三类数：横放的上边 n 根、横放的下边 n 根；；竖放的小棒：n 个正方形并排有 n＋1 根竖边（最左、各接缝、最右）；；合计 n＋n＋（n＋1） 等于 3n＋1（根）；n 等于 20 时得 61 根，与归纳法互验。。从图形结构分类数（上下边各一排、竖边多一根），是验证数列规律的几何方法。

答案。（1）摆 n 个需要 3n＋1 根；（2）当 n 等于 20 时，3n＋1 等于 3 乘 20＋1 等于 61（根）。

举一反三变式题。摆正六边形：摆 1 个用 6 根，2 个并排（共用一条边）用 11 根，摆 n 个需要多少根？摆 20 个呢？

解析。每增加一个添 5 根，需要 5n＋1 根；n 等于 20 时 101 根