数学思维·五年级下

数学思维·五年级下，第107页。

拓展题1，分数还原：分子分母变化后逆推原分数。一个最简分数，分子与分母的和是 38。如果分子、分母同时减去 3，得到的分数约分后是 五分之三。原来这个分数是多少？

思路点拨。分子分母同时减去 3，它们的和一共少了多少？变化后的分子与分母按 3∶5 分配这个新的和，先求 1 份是几。

方法一，份总还原法。分子分母各减 3，和变成 38－3－3 等于 32；；变化后的分数是 五分之三，分子占 3 份、分母占 5 份，共 8 份，1 份 等于 32 除以 8 等于 4；；变化后是 二零分之一二，分子分母各加回 3：原分数是 二三分之一五，检验 15＋23 等于 38、15 和 23 只有公因数 1。。还原题先把"变化后的分数"看作份数比，用变化后的和求出 1 份，再把减掉的数加回去。

方法二，设份列等式法。设变化后分子是 3 份、分母是 5 份，1 份为 x；则原分子 等于 3x＋3、原分母 等于 5x＋3；；由原分子分母之和列等式：3x＋3＋5x＋3 等于 38，8x 等于 32，x 等于 4；；原分子 3 乘 4＋3 等于 15，原分母 5 乘 4＋3 等于 23，得 二三分之一五，与份总法互验。。用"份数 x"列等式是方程思想的萌芽；列式时别忘了分子分母各加一次 3，共加 6。

答案。变化后分子分母的和：38－6 等于 32；每份：32 除以 （3＋5） 等于 4；变化后为 二零分之一二；原分数：（12＋3）/（20＋3） 等于 二三分之一五。答：原来的分数是 二三分之一五。

举一反三变式题。一个分数分子与分母的和是 30，分子、分母同时加上 5 后，约分得到 三分之二，原分数是多少？

解析。加后和为 40，每份 40 除以 5 等于 8，加后是 二四分之一六，原分数 一九分之一一

拓展题2，铺地砖中的最大公因数：边长最大用几块。客厅地面是一个长 30 分米、宽 24 分米的长方形。要用正方形地砖正好铺满（地砖都是整块，不切割），地砖的边长最大是多少分米？铺满客厅一共需要多少块这样的地砖？

思路点拨。地砖边长必须同时整除长和宽——想一想这是长和宽的什么数？边长定下来后，长能铺几块、宽能铺几排？

方法一，公因数筛选法。边长要整除 30 又要整除 24，候选是 30 和 24 的公因数：1、2、3、6；；要最大，选最大公因数 6 分米；；块数：长铺 30 除以 6 等于 5（块），宽铺 24 除以 6 等于 4（排），共 5 乘 4 等于 20（块）。。"整块铺满、边长最大"是最大公因数的标准信号词；求块数记得用排块相乘，不能用大面积除以小面积后不检验。

方法二，短除排块法。短除 30、24：同除以 2 得 15、12，再同除以 3 得 5、4（互质停止）；；除数连乘 2 乘 3 等于 6，即最大地砖边长 6 分米；；最后两个互质商 5 和 4 正是一排块数与排数：5 乘 4 等于 20（块），两法结果一致。。短除最后的两个互质商别丢掉——它们直接告诉你一排铺几块、铺几排，是短除法附送的答案。

答案。30 和 24 的最大公因数是 6，地砖边长最大 6 分米；（30 除以 6） 乘 （24 除以 6） 等于 5 乘 4 等于 20（块）。答：边长最大 6 分米，共需 20 块。