数学思维·五年级下

数学思维·五年级下，第140页。

拓展题2，分数裂项初步：1/2＋1/6＋1/12＋1/20。计算 二分之一＋六分之一＋一二分之一＋二零分之一。先观察分母：2 等于 1 乘 2、6 等于 2 乘 3、12 等于 3 乘 4、20 等于 4 乘 5，再借助规律或图形计算；如果照这个规律一直加到 九零分之一，结果又是多少？

思路点拨。把每一项拆成两个相邻分数单位的差：二分之一 等于 1－二分之一，六分之一 等于 二分之一－三分之一……中间的数会发生什么？

方法一，裂项抵消法。发现规律：1/[n 乘 (n＋1)] 等于 1/n－1/(n＋1)，如 六分之一 等于 二分之一－三分之一（通分检验：六分之三－六分之二 等于 六分之一）；；原式 等于 （1－二分之一）＋（二分之一－三分之一）＋（三分之一－四分之一）＋（四分之一－五分之一）；；－二分之一 与 ＋二分之一 等中间项全部抵消，只剩 1－五分之一 等于 五分之四；九零分之一 等于 九分之一－一零分之一，加到它时结果 等于 1－一零分之一 等于 一零分之九。。裂项的关键是"相邻、能抵消"：拆开后把括号去掉，一减一加手拉手消失，只留首尾。

方法二，数形结合法。画一条长 1 的分数条，先取 二分之一，右端在 二分之一 处；再补 六分之一（ 等于 二分之一－三分之一），涂色右端到 三分之二；；继续补 一二分之一 右端到 四分之三，补 二零分之一 右端到 五分之四——图形上看到累积右端依次为 二分之一、三分之二、四分之三、五分之四；；归纳第 n 项补完右端是 n/(n＋1)，故前 4 项 等于 五分之四；九零分之一 是第 9 项，右端 一零分之九，与裂项法一致（也可通分硬算：公分母 60，得 六零分之四八 等于 五分之四）。。分数条把"补一块、右端走一点"画出来，规律看得见；数项时认准分母 n(n＋1) 中的 n 是几。

答案。原式 等于 1－二分之一＋二分之一－三分之一＋三分之一－四分之一＋四分之一－五分之一 等于 1－五分之一 等于 五分之四；分母规律 n(n＋1)，九零分之一 对应 n 等于 9，加到 九零分之一 得 1－一零分之一 等于 一零分之九。

举一反三变式题。计算 六分之一＋一二分之一＋二零分之一＋三零分之一

解析。等于 二分之一－三分之一＋三分之一－四分之一＋四分之一－五分之一＋五分之一－六分之一 等于 二分之一－六分之一 等于 三分之一

拓展题3，打电话倍增：n 分钟最多通知多少人。合唱队有 15 名队员，老师要通知全体队员紧急集合：每打 1 个电话需要 1 分钟，每个接到通知的队员立即帮忙通知别人。最少需要几分钟才能通知到全部 15 名队员？如果给你 5 分钟，最多能通知多少名队员？

思路点拨。按分钟列表，想清楚每一分钟"有资格打电话的人"比上一分钟多了多少——知道消息的总人数在怎样增长？

方法一，逐分列表法。第 1 分只有老师知情，新通知 1 人，共通知 1 人；；第 2 分老师和第 1 名队员各打 1 个，新增 2 人，共 3 人；第 3 分知情者 4 人各打 1 个，新增 4 人，共 7 人；；第 4 分新增 8 人，共 15 人，恰好通知完，最少 4 分；继续列：第 5 分新增 16 人，共 31 人。。每分钟"新增人数 等于 上一分钟知情总人数"，所以新增 1、2、4、8……，累计 1、3、7、15、31，每个都比整十的幂少 1。

方法二，倍增公式法。第 n 分钟知道消息的总人数（含老师）每分钟翻倍：2、4、8、16……即 2ⁿ；；队员人数 等于 知情总数－1：最多通知（2ⁿ－1）人；；2⁴－1 等于 15，通知 15 人最少 4 分钟；2⁵－1 等于 31，5 分钟最多通知 31 名队员。。判断"至少几分钟"用不等式：找最小的 n 使 2ⁿ－1≥人数，如 15≤15 取 n 等于 4；别忘了减去发通知的老师本人。

答案。n 分钟最多通知（2ⁿ－1）名队员：2⁴－1 等于 15，通知 15 人最少 4 分钟；2⁵－1 等于 31，5 分钟最多通知 31 名队员。