数学思维·五年级下

数学思维·五年级下，第149页。

拓展题2，找次品：三分策略与称量次数公式。在 27 个外形相同的零件中有 1 个偏重（次品），用没有砝码的天平称，至少称几次就能保证找出次品？写出每次分组。如果零件有 40 个（仍是 1 个偏重），又至少要称几次？

思路点拨。每次天平称量能得到几种结果？把零件分成几份，才能不论天平向哪边倾斜都把嫌疑范围缩到最小？

方法一，三分称量法。27 个平均分成 3 份：9、9、9，第一次称其中两份，锁定重的那份 9 个（平衡则在第三份）；；把 9 个再分 3、3、3 称第二次，锁定 3 个；；把 3 个分 1、1、1 称第三次锁定次品，共 3 次；40 不能均分，分成 13、13、14，最多的一份 14，而 14＞9，2 次不够，需 4 次。。天平有左沉、右沉、平衡三种结果，正好对应三个组——这就是分 3 份最优的原因；不平均时让三组尽量接近（最大份只比最小份多 1）。

方法二，公式判定法。称 n 次最多能保证从 3ⁿ 个中找出次品：3、9、27、81……；；27 等于 3³，所以 27 个恰好 3 次；；40 满足 3³ 等于 27＜40≤81 等于 3⁴，所以至少 4 次，与三分法一致。。用 3 的幂做"门槛"快速判次数：看物品数落在哪两个相邻的 3ⁿ 之间，取较大指数；判定后仍要用三分分组写出过程。

答案。称 n 次最多辨别 3ⁿ 个。27 等于 3³：27→（9，9，9）→（3，3，3）→（1，1，1），至少 3 次；40 介于 3³ 等于 27 与 3⁴ 等于 81 之间，至少 4 次（首次分 13、13、14）。

举一反三变式题。10 个零件中有 1 个偏轻，至少称几次保证找出？8 个呢？

解析。10＞9 等于 3² 需 3 次，分 3、3、4；8≤9 需 2 次，分 3、3、2

拓展题3，铁块入水三问：排水上升、溢不溢出、无盖缸玻璃。一个无盖的长方体玻璃缸（从里面量）长 8 dm、宽 6 dm、高 5 dm，缸里原有水深 3 dm。把一块棱长 4 dm 的正方体铁块轻轻放入缸中，铁块沉底且完全浸没在水中。（1）放入铁块后水面上升多少分米？（2）水会不会溢出缸外？铁块放入前假设"完全浸没"成立吗？（3）制作这个无盖玻璃缸至少需要多少平方分米玻璃？（玻璃厚度忽略不计）

思路点拨。铁块占据了水里的空间：水面上升部分那一段"水柱"的体积正好等于铁块体积；先算出上升后的水深，再同时与缸高、铁块高度作比较。

方法一，排水转化法。铁块体积：V铁 等于 4³ 等于 64（立方分米）；；水面上升部分的体积等于铁块体积，这部分"水柱"的底面积就是缸的底面积 8 乘 6 等于 48（平方分米），所以上升高度 Δh 等于 64 除以 48 等于 三分之四（dm）；；上升后水深 3＋三分之四 等于 三分之一三 约等于 4.33（dm）：4.33＜5 不溢出；4.33＞4，水面高于铁块顶面，完全浸没的假设成立。。排水法三连环：先求物体体积→除以容器底面积得上升高度→用"新水深"分别对照容器高度（判断溢出）和物体高度（验证浸没）。

方法二，五面计数法。无盖缸只有 5 个面：1 个底面＋前后 2 个面＋左右 2 个面；；底面：8 乘 6 等于 48（平方分米）；前后面：2 乘 8 乘 5 等于 80（平方分米）；左右面：2 乘 6 乘 5 等于 60（平方分米）；；玻璃总面积：48＋80＋60 等于 188（平方分米）。。长方体表面积公式 2（ab＋ah＋bh）是 6 个面；无盖就去掉上面 ab，剩 ab＋2ah＋2bh；水槽、抽屉、游泳池都按缺面处理。

答案。（1）Δh 等于 4³ 除以 （8 乘 6） 等于 64 除以 48 等于 三分之四（dm）；（2）新水深 3＋三分之四 等于 三分之一三 约等于 4.33 dm，4.33＜5，水不溢出，且 4.33＞4，水面没过铁块，假设成立；（3）8 乘 6＋2 乘 8 乘 5＋2 乘 6 乘 5 等于 48＋80＋60 等于 188（平方分米）。