数学思维·五年级下

数学思维·五年级下，第20页。

拓展题1，因数个数探秘：谁的因数是奇数个？认识完全数。（1）写出 1～16 各数的因数个数，看看哪些数的因数个数是奇数，你发现了什么规律？（2）6 的因数中，除了它本身还有 1、2、3，把它们加起来：1＋2＋3 等于 6。像这样"除本身外所有因数的和恰好等于自己"的数叫完全数。20 以内除了 6 还有别的完全数吗？

思路点拨。成对找因数时，大多数数的因数两两配对；想一想哪个数可以写成两个相同整数的乘积，它的因数配对时会发生什么？

方法一，成对落单法。普通数的因数两两配对，如 12：1 和 12、2 和 6、3 和 4，共 6 个（偶数个）；；像 1 等于 1 乘 1、4 等于 2 乘 2、9 等于 3 乘 3、16 等于 4 乘 4，成对时两个乘数相同，只算一个，因数个数变成奇数：1、4、9、16 的因数分别有 1、3、3、5 个；；规律：一个数的因数个数是奇数，当且仅当它是完全平方数（两个相同整数的乘积）；20 以内的完全数只有 6。。"平方根落单"是因数个数奇偶性的关键：配对时遇到 a 乘 a，这一对只产生一个因数。

方法二，点阵正方形法。把每个数想成小方块总数，能摆成实心正方形的数（1、4、9、16……）开平方得到整数边长；；给这些平方数找因数，沿正方形"对角线"会有一对相同因数（边长 乘 边长），所以因数落单、个数为奇数；；非平方数只能摆成长方形，因数全部成对，个数为偶数；再验证完全数：6 的真因数 1、2、3 之和是 6，20 以内其他数都不满足。。用图形解释数论规律：摆得成正方形才有"对角线上的那一对"，直观又好讲。

答案。（1）1～16 中因数个数为奇数的是 1、4、9、16，它们都是完全平方数；规律：因数个数是奇数当且仅当这个数是完全平方数。（2）20 以内的完全数只有 6（第二小的完全数是 28：1＋2＋4＋7＋14 等于 28）。

举一反三变式题。不找因数，判断 25、36、50 这三个数谁的因数个数是奇数？

解析。25 等于 5 乘 5、36 等于 6 乘 6 是完全平方数，因数个数为奇数；50 不是平方数，因数个数为偶数