数学思维·五年级下

数学思维·五年级下，第34页。

拓展题1，翻杯问题：不可能的任务。桌面上有 5 只杯口全部朝上的纸杯。规定每次必须同时翻动其中 4 只（杯口朝上变朝下、朝下变朝上）。能不能经过若干次翻动，使 5 只杯子全部杯口朝下？

思路点拨。每只杯子从朝上到朝下需要翻动奇数次；如果目标能实现，所有杯子被翻动的总次数是奇数还是偶数？而每次翻 4 只，总次数又有什么特点？

方法一，总次数矛盾法。1 只杯子从朝上到朝下要翻奇数次，5 只都朝下，总翻动次数 等于 5 个奇数相加，是奇数；；而每次固定翻 4 只，翻 n 次的总次数 等于 4n，4 乘任何整数都是偶数；；总次数既要等于奇数又要等于偶数，自相矛盾；；结论：无论翻多少次都不可能实现。。操作题先不模拟，分别从"目标要求"和"规则供给"两边算总次数的奇偶性，矛盾即不可能。

方法二，列表标记法。用 √ 表示朝上、 乘 表示朝下，第一轮任选 4 只翻动，记录每只被翻次数；；逐轮累计每只杯子的翻动次数，发现：每只想要奇数次，但 4n 的总额只允许偶数次分配；；用更小的例子对照（4 只杯每次翻 3 只可以做到：4 轮中每轮留下不同的 1 只不翻，每只恰好翻 3 次），反衬本题确实不可能。。动手标记适合先建立感觉，但最终结论一定要回到奇偶矛盾，才是严密证明。

答案。不可能。目标要求总翻动次数是 5 个奇数之和（奇数）；规则下总翻动次数是 4n（偶数），奇≠偶，矛盾，所以无法实现。

举一反三变式题。4 只杯口朝上，每次同时翻动 3 只，能让全部杯口朝下吗？

解析。能：翻 4 轮，每轮留下 1 只不翻且各轮留下的杯子不同，每只恰好被翻 3 次，全部朝下；总次数 12 为偶，4 个奇数之和也是偶，不矛盾