数学思维·五年级下

数学思维·五年级下，第35页。

拓展题2，拉灯问题：因数个数决定亮灭。走廊里有编号 1～7 的 7 盏灯，开始全部亮着。第 1 轮把每盏灯的开关都按一次，第 2 轮把编号是 2 的倍数的灯各按一次，第 3 轮按编号是 3 的倍数的灯……一直进行到第 7 轮。最后哪几盏灯是灭的？

思路点拨。一盏灯被按几次，取决于它的编号有几个因数；开始是亮的，按奇数次会怎样？按偶数次呢？

方法一，逐轮模拟法。列表逐轮标记（亮√灭 乘 ）：第 1 轮后全灭；第 2 轮按 2、4、6 号，它们变亮；；继续：第 3 轮按 3、6 号，第 4 轮按 4 号，第 5 轮按 5 号，第 6 轮按 6 号，第 7 轮按 7 号；；逐灯统计被按次数：1 号 1 次、2 号 2 次、3 号 2 次、4 号 3 次、5 号 2 次、6 号 4 次、7 号 2 次；；初始亮，按奇数次灭：灭的是 1 号、4 号。。灯少就老老实实列表，按完数次数，是规律发现前最可靠的笨办法。

方法二，因数个数定性法。第 k 轮按的是 k 的倍数，所以编号为 n 的灯被按的次数，恰好等于 n 的因数个数；；初始亮：按偶数次恢复亮，按奇数次变灭；；因数个数为奇数的数是完全平方数（上周规律），1～7 中的完全平方数只有 1、4；；所以灭的是 1 号、4 号，与逐轮模拟结果一致。。拉灯问题是因数个数规律的经典舞台：完全平方数因数成对时落单，被按奇数次。

答案。1 号灯被按 1 次、4 号灯被按 3 次（奇数次，灭）；其余各灯都被按偶数次（恢复亮）。最后灭的是 1 号、4 号灯。

举一反三变式题。若是编号 1～10 的 10 盏灯、进行 10 轮，最后灭着的是哪几盏？

解析。10 以内完全平方数：1、4、9，灭的是 1 号、4 号、9 号