数学思维·六年级上

数学思维·六年级上，第101页。

举一反三变式题。把 3 根直径都是 10 厘米的管子摆成三角形（两两紧贴）捆一圈，接头不计，至少要多长的绳子？

解析。3 条直段各长 10，3 段弧的圆心角各 120 度 ，合起来是一个整圆 31.4；3 乘 10＋31.4 等于 61.4 厘米

拓展题3，确定起跑线：外道起点往前挪多少。400 米标准跑道由两条直道和两个半圆形弯道组成，相邻两条跑道宽 1.2 米。（1）内道和相邻外道跑一圈，两段直道的长度一样吗？（2）只看两个弯道（它们合起来正好是一个圆），相邻外道一圈比内道多跑多少米？（π 取 3.14）（3）为了比赛公平，外道起跑线要比内道提前多少米？（4）第 3 道相对第 1 道起跑线要提前多少米？

思路点拨。两个半圆形弯道恰好拼成一个完整的圆；相邻外道弯道的半径比内道多一个道宽。分别写出两圈弯道周长再相减，含 r 的部分会抵消。

方法一，周长相减抵消法。直道部分内外道完全相同（都是两段相等的直道），差距只来自弯道；；设内道弯道合起来的圆半径为 r，弯道周长 2πr；相邻外道弯道半径 r＋1.2，弯道周长 2π（r＋1.2）；；相减：2π（r＋1.2）－2πr 等于 2π 乘 1.2 等于 2 乘 3.14 乘 1.2 等于 7.536（米），r 被消掉，说明无论内道半径多大，相邻两道路程差都一样。。列式时把字母 r 保留到最后相减，看着它被抵消——这正是"与内道半径无关"的最好证明。

方法二，逐道递推法。相邻两道路程差 等于 2π 乘 道宽 等于 7.536 米，所以第 2 道比第 1 道提前 7.536 米；；第 3 道弯道半径比第 1 道多 2 个道宽：2π 乘 （2 乘 1.2） 等于 15.072 米；；也可逐道递推：7.536 乘 （3－1） 等于 15.072 米，与公式一致；起跑线沿终点方向依次前移，每人跑的实际路程才都是 400 米。。通用结论：第 n 道相对第 1 道提前 2π 乘 道宽 乘 （n－1）；道宽不变，提前量成等差数列。

答案。（1）直道长度一样；（2）多跑 2π 乘 1.2 约等于 7.536 米；（3）外道起跑线提前约 7.536 米；（4）第 3 道比第 1 道提前 2 乘 7.536 等于 15.072 米。