数学思维·六年级上

数学思维·六年级上，第140页。

拓展题1，4 支铅笔放进 3 个笔筒（鸽巢原型）。把 4 支铅笔放进 3 个笔筒，为什么无论怎样放，总有一个笔筒里至少放 2 支铅笔？请用两种方法说明，并举出一种放法验证。

思路点拨。先把所有放法列出来看；或者让每个笔筒先尽量"平均分"，看剩下的铅笔去哪儿。

方法一，有序枚举法。不计笔筒顺序，把 4 拆成 3 个数（允许 0）：（4,0,0）（3,1,0）（2,2,0）（2,1,1）；；逐一看每种放法里最多的笔筒：4、3、2、2；；最多数中最小的也是 2，所以任何放法都有一个笔筒至少 2 支，例如（2,1,1）就是最平均的验证。。物体数少、抽屉数少时枚举法最有说服力：所有可能都摆出来，结论不证自明。

方法二，反证（平均分）法。假设结论不成立，即每个笔筒最多只放 1 支；；3 个笔筒最多只能放 3 支，但实际有 4 支，多出的 1 支无处可放，矛盾；；所以假设错误，必有一个笔筒至少放 2 支；与 4 除以 3 等于 1……1、1＋1 等于 2 的算法一致。。平均分＋反证是鸽巢问题的"说理脊梁"：想让"最多的尽量少"，就先每个抽屉给一样多。

答案。4 除以 3 等于 1……1，先每个笔筒放 1 支，剩 1 支无论放哪，那个笔筒都有 2 支。答：总有一个笔筒至少放 2 支。

举一反三变式题。6 只鸽子飞回 5 个鸽笼，为什么总有一个鸽笼至少飞进 2 只？

解析。6 除以 5 等于 1……1，至少 2 只

拓展题2，7 本书放进 3 个抽屉（商加 1）。把 7 本书放进 3 个抽屉，不管怎样放，总有一个抽屉里至少放进 3 本书。请用两种方法解释：为什么是 3 本而不是 2 本？

思路点拨。尽量平均分：7 本书每个抽屉先分到几本？余数几本？余数会把某个抽屉顶到几本？

方法一，平均分操作法。每个抽屉先放同样多：7 除以 3 等于 2（本）……1（本），每个抽屉放 2 本，用掉 6 本；；剩下 1 本放进任意一个抽屉，该抽屉变成 2＋1 等于 3 本；；最平均的放法（3，2，2）里仍有抽屉是 3 本，所以"至少 3 本"躲不开。。至少数 等于 商＋1（有余数时）；不是加余数——余数再多本也只需往每个抽屉再分 1 本即可。

方法二，枚举验证法。列出较平均的几种放法：（3,2,2）（3,3,1）（4,2,1）（5,1,1）等；；要让最多的抽屉尽量少，最佳是（3,2,2），最多数仍是 3；；想让每个抽屉最多 2 本，3 个抽屉最多容纳 6 本，装不下 7 本，故至少有一个抽屉 3 本。。用"容量上限"检验：若每个抽屉最多 k 本，总容量 等于 3k，小于物体数就说明 k 太小。

答案。7 除以 3 等于 2……1，2＋1 等于 3（本）；若每个抽屉最多 2 本，3 个抽屉最多装 6 本＜7 本。答：总有一个抽屉至少放 3 本。